Prólogo versión 2.0

Es curioso que lo último que voy a escribir para este libro sea lo que aparezca bien al principio, en el prólogo. Me propuse componer el índice primero, mirar los títulos de cada sección y, sin leer el desarrollo, buscar cuál o cuáles eran los problemas que más me tentaban.

Es decir, como fui escribiendo las historias a lo largo de todo un año, cada una de ellas estuvo rodeada de distintas situaciones particulares: cómo me enteré del problema, cuánto participaron otras personas en discutir conmigo la solución, qué impacto le produjo a cada uno de ellos, en qué lugar del mundo estaba cuando la fui escribiendo y cuánto tiempo me llevó hacerlo, cuánto me costó encontrar los lugares en donde estaban las dificultades de cada uno… y así podría seguir desmenuzando cada estación (historia) que aparece en este libro.

Tengo varias historias favoritas. Acá va la lista y algún comentario que me quedó por hacer.

1) “El problema del ping-pong” me tuvo entretenido un buen tiempo. Me lo contó Carlitos D’Andrea anunciándome ‘éste es de los problemas que sé que te gustan’. Y sí. No sólo me gustó sino que la solución se me ocurrió mientras esperaba un subte en el centro de Nueva York. Había dos personas bolivianas, haciendo una música maravillosa. Recuerdo que pensé: ¡qué injusticia que tengan que desplegar su arte en este contexto! No sé qué canción estaban ejecutando cuando advertí que se me había ocurrido algo que no había pensado antes y me di cuenta de que ya sabía cómo hacer para presentar la solución. Entré en el subte y como —afortunadamente— me pude sentar, usando mi viejísima lapicera Lamy garabateé la idea en un papel de esos que siempre llevo en el bolsillo de la camisa. Ni bien llegué de vuelta a la habitación del hotel, escribí la solución apurado. Es la que aparece en el texto principal.

2) “El bar antisocial”: éste es un problema clásico de los que aparecen en las pruebas de admisión que hacen las grandes compañías (Apple, Google, Microsoft, Oracle, por nombrar algunas). El primero de ellos se lo escuché a Gerry Garbulsky hace más de veinte años cuando él y Marcela, su compañera de toda la vida, estaban aún radicados en Estados Unidos. Gerry me contó sobre una pregunta que le habían hecho: cómo estimaría él el número de afinadores de piano que había en Boston. Justamente ese problema apareció en el primer libro de la colección ‘Matemática… ¿estás ahí?’. Desde allí tengo un particular interés por encontrar y difundir problemas de ese estilo, y así fue como supe de una charla que dio William Poundstone en Medill Northwestern University, en Evanston, uno de los suburbios de Chicago. La conferencia de Poundstone giró alrededor de una idea que me parece ‘esencial’: convencer a la audiencia de que Google no trata de detectar quién es ‘suficientemente brillante’ para trabajar en la empresa, sino de descubrir quiénes son las personas que tienen la pasión y persistencia suficientes para seguir intentando cuando no pueden resolver un problema, y a pesar de eso siguen y siguen pugnando sin claudicar, hasta encontrar lo que a uno le hace falta para resolverlo. Poundstone es el autor del título del problema “El bar antisocial” aunque Carlos D’Andrea me dijo que es conocido como el ‘problema de los mingitorios’. No importa cuál de los dos sea, permítame sugerirle que no se lo pierda.

3) Un breve agregado al problema anterior. El día 22 de julio de 2015, recibo un mail de Gerry Garbulsky. Lo quiero transcribir textualmente: “Acá estamos con Juli [su hijo mayor] que me dijo recién: “Pa, tengo ganas de pensar. ¿Tenés por ahí algún problema de Adrián?”. Abrí el libro último al azar, sin saber dónde ‘caería’ y estamos pensando juntos el del bar antisocial (que ya me habías contando en el Bar El Caballito). Todavía lo estamos pensando, pero nos surgió un comentario sobre el enunciado que queremos pasarte, por si estás a tiempo (si el libro ya entró en la imprenta, ¡borrá este email y listo!)”. Aquí paro la transcripción porque lo que quiero transmitir ya está expresado en esas líneas. Le quiero hablar a usted que está leyendo este prólogo: ¿se da cuenta de lo que me significa que Gerry en este caso, pero vale para cualquier padre, sea capaz de recibir de su hijo una reflexión como ésa: “¡¡¡TENGO GANAS DE PENSAR!!!”? ¿Qué más puede uno pedir?

4) Necesito hacer justicia con alguien que es una máquina proveedora de ideas fantásticas. Me refiero a Juan Pablo Pinasco. Bastará con que se adentre en el libro y descubrirá algunas que son espectaculares. Quiero contar algo que pasó alrededor de la historia que llamamos (él y yo, juntos) “Pinasco y el Sistema Dinámico Repulsor”. En una reunión ‘virtual’ que hicimos entre María Marta García Scarano (la productora general de Alterados por PI), el propio Juan Pablo y yo, estábamos haciendo una ‘lista’ de los problemas tentativos para una de las grabaciones. Ellos estaban en la productora El Oso en Buenos Aires, y yo estaba en ese momento en Chicago. Entre los tres, ya habíamos acordado que la historia sobre el sistema dinámico ‘repulsor’ iría seguro cuando grabáramos en la provincia de Mendoza. Juan Pablo me comentó que lo había visto en una revista rusa, hablando de olimpíadas matemáticas que se habían desarrollado en Moscú. De todas maneras, como el problema me había gustado tanto, lo escribí y se lo mandé a Ernesto Tiffenberg y Hugo Soriani (codirectores de Página/12) para que evaluaran si valía la pena publicarlo en una de las contratapas. Ambos decidieron que sí, y apareció en el diario el 10 de agosto de 2014. Lo notable de este episodio es lo que me contó Juan Pablo el día de la reunión: “Como el día de la publicación fue un domingo, Selva [su señora] y yo nos quedamos durmiendo un poco más de lo habitual. En un momento determinado se abrió la puerta de la habitación y entraron mis dos hijos [Cecilia de nueve años y Federico de tres], con la versión impresa del artículo. Nos despertaron con el diario en la mano, mientras exhibían —supongo que con orgullo— que hubiera aparecido el apellido de la familia en letras ‘tan grandes’. Curiosamente mis padres, que habitualmente residen en Gualeguay, estaban de visita en Buenos Aires y fue mi padre quien se llevó a Cecilia hasta el quiosco para comprar el diario, porque una tía mía que vive en Córdoba ya había puesto a la mañana temprano en Facebook lo que había salido en el diario. Creo que ‘toda’ la familia, de una u otra forma me dijo ese día: ‘¿Viste lo que salió en Página/12?’. Sí, ya lo había visto”. Me emocioné cuando me enteré de la historia y me puso contento por Juan Pablo: es un tipo fuera de serie y los problemas que me sugiere, también. Cada vez que vea su nombre asociado con alguna de las historias que aparecen en este libro, no dude de que es buena (por él, naturalmente). No se la pierda.

5) Noviembre del año 2014. Preparábamos la presentación del libro anterior (La puerta equivocada) a un costado del lugar que se llama “La nave de la ciencia”, en Tecnópolis. Estábamos discutiendo la forma de presentar los problemas con una buena parte de las editoras y productoras de Penguin Random House (Glenda Vieites, Daniela Morel, Verónica Larrea y Belén Molinari) y estaban también Claudio Martínez, Juan Boido y Gaby Díaz (quien se ocupa de todos los elementos escenográficos). Gaby quiere saber con tanta anticipación como le sea posible el orden en que voy a resolver los problemas. El que lo tenía atormentado era el problema que en el índice figura con el nombre de ‘Autitos’: “Contame, Adrián: ¿cómo lo vas a hacer? Yo te preparé los 25 autitos de distintos colores para que vos los hagas correr de derecha a izquierda…”. No puedo recordar textualmente mi respuesta, pero estoy casi seguro de que no hice lo que Gaby quería, pero no por falta de voluntad, sino porque él es demasiado puntilloso con su trabajo y yo soy muy errático en mis decisiones. Pretendo tener todo controlado, pero no siempre lo logro. Lo que sí puedo decir es que el problema de los Autitos, no estaba previsto en el papel en el que figuraban los que habíamos repartido al público. La nave de la ciencia estaba repleta de gente y yo había preparado algunos problemas extras en el caso de que la gente estuviera ávida de seguir pensando cómo resolver algunas historias. El hecho es que el problema fue un verdadero ‘hit’. Yo tenía dudas sobre si la solución sería muy complicada o si yo iba a ser capaz de explicarla ante tanta gente y tan diversa. Sin embargo, no sólo no fue difícil, sino que el público se enganchó y terminaron participando casi todos. Ni bien terminó el evento, muchísima gente se acercó para seguir discutiendo los problemas. Tiffenberg y Soriani querían saber si podría presentar ‘el de los Autitos’ para la edición del domingo (esto sucedía un sábado y ya eran las seis de la tarde). Hugo Sigman y Silvia Gold saltaban en sus butacas para que les prestara atención a lo que me querían sugerir, mientras a la derecha del escenario veía a Lino Barañao y Oscar Parrilli discutiendo la solución. Alejandro Fabbri y su mujer Marisa conversaban sobre la estrategia de los autitos con mi amigo y abogado Marcos Salt y su mujer Mariana. Usted se preguntará a esta altura: “¿Y qué tiene que ver esto con el problema?”. Tiene razón: con el problema propiamente dicho, posiblemente no tenga nada que ver, pero lo que quisiera transmitirle es que en una tarde de sábado con una variedad muy grande de alternativas que ofrece una ciudad como Buenos Aires, había un grupo enorme de personas que se habían dado cita para… ¡pensar problemas de matemática! Y el que por escándalo más los tenía atrapados era uno que pedía elaborar una estrategia para determinar qué autitos eran más rápidos que otros. ¿No es notable que esto haya sucedido?

6) Para todas aquellas personas que han venido siguiendo los distintos libros de esta serie, el nombre Carlos Sarraute no les resulta desconocido. No es éste el lugar para hacer un desarrollo de su trayectoria, pero quiero recomendarle un problema particular que me sugirió él. Es muy poco frecuente que yo escriba sobre algo que considero que es muy difícil de resolver. Sin embargo, esta vez, lo hice. Puede que varias situaciones que aparecieron previamente fueran complicadas también: no lo sé. Lo que sí sé, es que no me di cuenta o no logré detectar el grado de dificultad antes de recoger las impresiones de ustedes, de quienes leen y tratan de resolver los problemas. Pero en este caso, sé de antemano que el problema es muy difícil. Mi debate interno fue: ¿lo incluyo o no? Por un lado, podría pensar que no está mal que aparezca un problema de una categoría distinta, más complicado de analizar. No quiero decir que haga falta utilizar herramientas que usted no tiene para resolverlo: ¡no! Está al alcance suyo porque estuvo al alcance mío, y eso contesta la pregunta. Pero lo que también sé es que pude haberlo obviado, pude no haberlo incluido entre los problemas que aparecen en este libro. Nunca nadie se hubiera dado cuenta ni podría reclamármelo, pero la diferencia está en que yo sí hubiera sabido que tuve la oportunidad de incluirlo y la deseché. Por otro lado, ¿qué pierdo si lo incluyo? Nada. Me resulta imprescindible advertirle que tiene un grado de dificultad diferente de los otros pero creo que vale la pena, cada tanto, exhibir algo que requiere de otro tipo de tenacidad para resolver. Eso: creo que la palabra que estuve buscando durante un tiempo y no pude encontrar es ésa: tenacidad. Yo valoro muchísimo a la gente que tiene persistencia, tenacidad, insistencia, que no claudica. Esas personas tienen una gran ventaja sobre los que se ‘entregan’ rápido, sin siquiera hacer el mínimo esfuerzo para poder avanzar. Dicho todo esto, quiero entonces hablar ‘a favor del problema’ propiamente dicho. Le sugiero que lo lea y le dedique un rato no a pensar la solución, sino a reflexionar sobre lo que somos capaces de hacer. Es como entrar en una habitación en la que uno no estuvo nunca, con las luces apagadas, sin tener noción de dónde están ubicados los muebles y sin saber si hay agujeros en el piso o si éste es resbaladizo. Uno tiene muy pocos datos. Pero a medida que se queda en el lugar, aún quieto durante un tiempo, pero tratando de ‘descubrir’ lo que puede utilizando todos los sentidos, uno empieza a detectar cosas que no había visto antes, algo así como que se ‘familiariza’ con el lugar. Al rato (que puede ser largo o corto) uno empieza a sentirse más cómodo y hasta se siente capaz de hacer algunos movimientos que no parecen traer riesgos. No avanzo más con la imagen porque creo que está clara. Si puedo sugerirle algo más, cosa que voy a hacer repetidamente a lo largo del libro, cuando pueda, lea el enunciado, nada más. Y piense lo que dice: no trate de resolver nada, solo piense el enunciado. Si usted logra situarse en algunas de las personas que aparecen en la historia, verá que después de un rato, en el lugar en donde había total oscuridad, usted empieza a detectar algunas sombras. Ya habrá valido la pena.

7) Hay varias personas que hacen de ‘betatesters’ en estos libros. A lo largo de los años todos ellos han detectado errores, problemas en los enunciados, problemas en las soluciones, problemas en las figuras, ambigüedades en mis respuestas. Me han aportado ideas que no solo aparecieron como ‘notas al pie’, sino que se transformaron en el ‘verdadero contenido’. Cada uno lo hizo a su estilo. Carlos D’Andrea leyó los diez libros (éste es el décimo). Los leyó todos, renglón por renglón, palabra por palabra. Si bien él vive en Barcelona, nos vemos poco pero hablamos mucho. Me hace sugerencias para que incluya problemas que él mismo ya leyó en algún libro anterior: “¿Ya publicaste esto? ¡Qué increíble! Seguro que lo tengo que haber leído y corregido y no me acuerdo nada”. No está solo en el club. Yo hace mucho tiempo que soy miembro. Puedo decir con tranquilidad que hasta que él no da su ‘visto bueno’, yo siento que el libro ‘no está terminado’, que le falta ‘algo’. Así sucedió con los diez. En todo caso, la/lo estoy invitando a pensar que esta ‘saga’ lleva ya más de diez años. ¿No es increíble? Carlos tiene también un grupo selecto de amigos matemáticos que aportan ideas que él me hace llegar: Juan Carlos Naranjo, José Ignacio Burgos, Emiliano Gómez, Martín Sombra, Luis Dieulefait. Las sugerencias de Carlos están ‘casi’ todas: me interesa mucho tratar de no excluir ninguno de sus aportes. Cuando un autor escribe: “sus aportes son imposibles de mensurar” o “sus ideas me han mejorado personalmente o han mejorado el texto”, u otras variantes, uno sabe que el autor siente esa gratitud, la manifiesta al escribir el texto, pero no queda claro exactamente a qué se refiere. Es por eso que me interesa buscar algún ejemplo, como para que quede claro de qué hablo. Víctor Hugo siempre me señala que cuando a uno le dicen “usted es uno de los mejores periodistas que yo conozco”, la pregunta que a uno le surge inmediatamente es: “¿entre cuántos figuro yo?, ¿soy el quincuagésimo quinto o el sexto?”… Y yo agregaría, ¿por qué? Es por eso que me es fácil encontrar argumentos que sirvan para ejemplificar mi gratitud por lo que hace/hizo Carlos D’Andrea. Basta con que comparta con usted, que está leyendo este texto, que Carlos dividió el libro en 28 (sí, veintiocho) partes, y las fue leyendo una por una. El primer segmento me lo mandó el 15 de junio de 2015, y el último, el vigésimo octavo, el 30 de junio. No quiero terminar este pequeño párrafo dedicado a él, sin exhibir dos ejemplos que son muy claros: en la última entrega (que Carlos tituló: “Libro 28… ¡final!”), en el análisis que hizo del último problema, aparecen dos tipos de correcciones. Su primera observación fue “hay dos ‘una vez que’ muy seguidos”. La segunda que quiero escribir acá, fue la última que hizo. La transcribo: “No me parece un mal enunciado. El problema es difícil en relación con todos los otros, pero aparece al final del libro, y la resolución no es complicada. However [sic], el ‘salto’ conceptual que hay que hacer para pasar del caso 2x2 al caso 8x8 no es trivial. Yo, a riesgo de hacer la nota más larga, quizá perdería un poco de tiempo con el caso 4x4, o más audaz aún: resolvería detalladamente el caso 4x4 y luego invitaría al lector a que haga él/ella solito el 8x8 :-) (podés poner algún par de ejemplos del tipo: si la distribución fuera la siguiente y el mago indica esta moneda, Carolina hace esto)”. Fuera de contexto, quizás no se entienda, pero usted advierte que la primera de las observaciones la pudo haber hecho ‘casi’ cualquiera. La segunda, ‘casi’ ninguno. Es un lujo que Carlos participe de esta forma tan activa.

8) Los lunes y viernes del mes de mayo del año 2015 los utilizamos para grabar diferentes episodios de Científicos Industria Argentina, el programa dedicado a la ciencia que la Televisión Pública emite desde mayo de 2003. Es decir, llevamos más de trece años en el aire en forma ininterrumpida. El formato fue variando a lo largo de los años e incluso se emitió por Telefé (un canal privado de la Argentina) durante un par de ciclos, pero lo que ha sido una constante a lo largo del tiempo es que, de una u otra forma, yo planteo algún problema para pensar, al estilo de las historias que aparecen en estos libros. Algunas temporadas lo hice solo, ofreciendo un problema sobre el final de uno de los episodios y contando la solución en el programa siguiente. Otras veces hice los planteos al inicio del programa, compartiéndolo con algún invitado, mientras nos quedábamos pensando la solución durante la hora que la emisión está en el aire. En alguna oportunidad ofrecimos alguna variante a estas dos que acabo de explicar. ¿Por qué esta introducción? Por lo siguiente: en una de las sesiones de grabación que sucedió un lunes de mayo, creo que el 18, llegó como invitado al canal Ricardo Darín. La mayoría de los asistentes quieren que quede claro que ‘la matemática no es para mí’, o bien ‘yo me la llevé previa tres veces’, o bien ‘por favor, no me hagas pasar vergüenza con alguna pregunta comprometida’, y así sigue la lista. Por supuesto, me encargo siempre de aclarar que mi intención no podría pasar por hacer sentir incómodo a quien estoy invitando a mi casa, sino que quiero que nos exhibamos juntos en el momento de ‘pensar’. Ese momento es muy privado, personal y diferente para cada persona. De hecho, creo que no sólo somos distintos entre nosotros cuando nos vemos ‘forzados’ a pensar, sino que somos distintos a nosotros mismos de un día para otro, o de una ‘hora’ para otra. Pero la sociedad tiene preparado un ‘castigo particular’ para quienes no resuelven algo rápido o algo no les sale inmediatamente o dicen algo que en apariencia es ‘equivocado’. La sociedad no perdona: ‘sos un burro’, ‘o una burra’ para no hacer distinción de sexos. Y lo extraordinario es que cuando uno logra ‘liberarse’ de esa preocupación, puede pensar libremente… cosa que no es fácil. Quizá por eso los niños, que no tienen preocupaciones iniciales, ni están constreñidos ni encorsetados al ser tan jóvenes, se pueden permitir ‘divagar’ sin ataduras y de allí surgen un montón de ideas y creatividad que después vamos perdiendo. Y si bien me disparé con el texto, me interesa muchísimo resaltar esto último: tratemos de ser tan cuidadosos como podamos en ‘evitar domar a quienes piensan distinto’, aunque sus ideas aparezcan —en principio— inconducentes o ‘equivocadas’. Dejémoslos avanzar. Pero vuelvo a lo que quería contar de Ricardo Darín. Ricardo, a diferencia de la mayoría, no me pidió que ‘lo protegiera’. De hecho, suelo ofrecerles a los invitados contarles el problema por anticipado para que puedan pensarlo antes. Lo interesante es que solamente una persona, un matemático nada menos, fue quien me pidió que le diera el enunciado (no la solución, pero sí el enunciado) del problema que habría de plantearle. Todo el resto se enteró genuinamente al mismo tiempo que el televidente. Pero la historia con Darín continúa así. A él le planteé el problema que en este libro lleva el nombre de “Los relojes de Juan Sabia”. Me escuchó atentamente y lo vi esencialmente concentrado e interesado. Fuimos avanzando juntos pero virtualmente sin aportes míos. A esta altura, le sugeriría que lea la historia para que se entienda de qué estoy hablando, pero Ricardo no quería interferencias. Me hizo una o dos preguntas, que solamente servían para aclarar el enunciado, y en el tiempo que duró la grabación (que ciertamente no fue una hora ni mucho menos porque las otras partes del programa ya estaban grabadas), ¡lo resolvió! El problema en sí mismo es precioso y requiere de elaborar una estrategia, o si usted prefiere, ubicarse uno en el lugar de un detective. Frente a la escena de un crimen, por ejemplo, uno encuentra tres relojes que están dejando un mensaje. Todo bien, pero ¿qué mensaje? ¿Qué pasó en el tiempo que se cortó la luz? Estoy casi seguro de que usted no puede entender sin leer el enunciado, pero el valor que tuvo para mí, y por eso la referencia en esta parte del prólogo, es para mostrar cómo alguien que hubiera podido dejarse llevar de la mano (por mí) y eventualmente aparecer como que había resuelto el problema por su cuenta, optó por hacer algo muchísimo más valioso: pensar. Pudo haber sucedido que no lograra resolver el problema… Seguro que le pudo pasar, pero lo que sí había hecho es ganarse un lugar muy lindo ante él mismo, sentir que uno es capaz de elaborar ideas, de encadenar razonamientos, de imaginar situaciones. Eso fue lo que hizo Darín y, créame, el problema que me sugirió mi querido Juan Sabia, valía la pena también.

9) A propósito de ‘hacer de detectives’, quiero agregar algo más, breve. En otra de las grabaciones de Científicos Industria Argentina, la invitada fue Ximena Sáenz, coconductora con Guillermo Calabrese de Cocineros Argentinos. A ella le planteé el problema “¿Quién fue el culpable?”. A medida que fuimos recorriendo juntos quién podría ser el responsable del robo de la cartera, Ximena se fue olvidando de que estaba frente a una cámara porque el problema la atrapó. Hubo un instante, y lo quiero escribir de nuevo, ¡un instante! en el que pasó de no entender a sí entender… Más aún: descubrió ella sola cuál tenía que ser la solución. Esa cara, su expresión, el momento en el que le brillaron los ojos, no tiene precio. Le pregunté al director si había quedado registrado, porque eso es algo que uno no puede simular ni practicar: ese momento resume todo lo que yo querría explicar y no puedo aunque use millones de palabras. Ser capaces de generarnos entre nosotros esos Eureka, son parte de los momentos más espectaculares de nuestras vidas.

10) Para terminar, algunos apuntes finales, escritos en forma anárquica, sin seguir ningún orden particular. Sólo quiero compartir algunos momentos que fui viviendo mientras escribía el texto. El problema que figura con el nombre de “La cooperación” quisimos implementarlo en Comodoro Rivadavia en una de las grabaciones de Alterados por Pi que hicimos en mayo de 2015. El resultado fue sorprendente y muy parecido al que figura en el texto principal. No agrego nada más, porque serviría para revelar datos, pero hasta ahora, en todos los lugares donde lo implementamos, pasa inexorablemente lo mismo. ¿Qué conclusiones podríamos sacar sobre nosotros mismos? Otra cosa: cuando lea el problema sobre “Curiosidad en cualquier torneo de básquet”, no podrá evitar pensar (creo) cómo puede ser que nunca se le ocurrió antes. Con esa idea, me senté con Manu Ginóbili en su último viaje a Chicago en febrero de 2015 también. Tomando un café, primero, le conté el problema. Allí, lo sorprendí. Me dijo que no entendía cómo no lo había advertido antes y, por supuesto, quiso saber por qué era cierto. Cuando me disponía a contárselo, me paró como hace ‘casi siempre’: “No, no me cuentes la solución. No me arruines la posibilidad de pensarlo. El viaje de vuelta de Chicago a San Antonio es largo [casi tres horas]. ¿Por qué pretendés robarme el placer de tener algo con qué entretenerme hoy a la noche después del partido? Además, siempre están Matt Bonner [el pelirrojo compañero de Manu en los Spurs] y Will Hardy [el coordinador de videos]. Los dos están siempre interesados en problemas de este tipo”. Algo gracioso sucedió cuando le conté a Fernando Pacini uno de los problemas de lógica matemática. Lo habíamos invitado para participar en una de las grabaciones de Científicos Industria Argentina. Le planteé el problema que acá figura con el nombre “Los hijos del especialista en lógica”. Lo hice al principio del programa y después, en el primer corte, nos quedamos pensando juntos. Luego de un rato, le pregunté si estaba listo y si podíamos finalizar la grabación con la solución. Me dijo que sí. Reanudamos entonces, y entre los dos fuimos explorando los distintos casos hasta encontrar la respuesta. Para mi sorpresa, cuando me despedía le pregunté: “¿No te parece que si le hubieras dedicado un rato, se te hubiera ocurrido a vos solo?”. Me dijo con una sonrisa increíble: “¡No! ¡Ni por asomo! ¡Si vos no hubieras estado acá a mí no se me habría ocurrido nada!”. Me sorprendió porque yo estaba convencido de que después de haber analizado caso por caso, él ya había detectado qué tenía que hacer, y con ese impulso me imaginé que iba a contestar que sí. Sin embargo, su ‘NO’ fue rotundo… y convincente. Por último, una anécdota que lo involucra a Claudio (Martínez). Además de ser amigos, trabajamos juntos desde hace muchísimos años; para ser más precisos desde 1998. Claudio me debe haber acompañado a todos los programas que hicimos juntos como Alterados por Pi, Científicos Industria Argentina, El debate, Grandes temas de la matemática, La generación dorada, Periodistas, Detrás de las Noticias, Día D… no sé, estoy seguro de que me olvido de algún ciclo, pero creo que usted entiende la idea. Además, hemos viajado juntos por el interior de la Argentina, del Uruguay… hasta en Seúl estuvimos juntos. De hecho, no debe haber nadie que me conozca mejor que él. Acá la historia… breve. Siempre me dice que él podría dar las charlas por mí: me ha escuchado decir tantas veces lo mismo, conoce todos mis tics, mis chistes, mis referencias, mis anécdotas… todo. “Salvo con Edy (mi mujer) y mis hijos, no debo haber pasado más tiempo con nadie en mi vida.” Bien: un día, en una charla en el Hospital Fernández de la ciudad de Buenos Aires, estaba haciendo algunas reflexiones con gente como yo, de la tercera edad. Claudio estaba sentado en el auditorio, en la última fila. Yo quería mostrarles a los participantes del encuentro que usando ciertas propiedades yo podía descubrir el número que habían elegido. Claudio me hacía señas con los brazos pretendiendo indicarme que había algo mal. Yo no entendía y, para peor, evitaba mirarlo para no distraerme. Hasta que en un momento, él no pudo más y me dijo desde lejos: “Creo que no te va a salir”. Me quedé mirándolo sin entender por qué me podría hacer una observación tan tajante. Antes de que atinara a nada, y cuando los asistentes comenzaron a darse vuelta para saber quién era el que me hablaba, Claudio me gritó desde lo alto: “Es que estás usando el 51 como número primo, y no lo es”. ¡Increíble, ¿no?! Pero tiene/tenía razón. Es tanta la confianza, es tanto el tiempo que estamos juntos que hizo muy bien en decírmelo, pero quiero remarcar que lo notable es que él ya sabe en qué se basan ciertos ‘juegos’ que hago/hacemos para seducir a los asistentes, y ahora él sabe muy bien que hace falta que ciertos números (en este ejemplo) sean primos, porque si no, el problema no sale. Y no sé si a usted le pasa, pero 51 tiene todo el aspecto de ser primo (solamente divisible por él mismo y por el número uno). Bueno, pues no. 51 no es primo porque es divisible por 17 y por 3. Más aún: 51 = 3 × 17. Creo que no lo olvidaré más, pero Claudio tampoco. Lo mismo que le pasa a él, les sucede a todas las personas con las que trabajo desde hace tanto tiempo: Glenda Vieites, María Marta García Scarano, Woody González, Edy Gerber, Laura Cukierman, Gaby Díaz, Betina Rodríguez, Elisabet Alegre, Ezequiel Rodríguez… sirvan estas líneas para ofrecerles mi gratitud.

El problema del ping-pong

El siguiente es un problema espectacular. Por si le queda alguna duda, lo voy a escribir de nuevo: es-pec-ta-cu-lar.

Todas las personas a las que se lo sugerí, quedaron fascinadas. Aspiro a que a usted le pase lo mismo. Antes de avanzar, quiero contar cómo me enteré y a través de quiénes.

Carlos D’Andrea es doctor en matemática y profesor en la Universidad de Barcelona. Sus aportes a la matemática lo transformaron en uno de los más importantes referentes contemporáneos entre los que nacieron en nuestro país. Carlos es correntino, se licenció en matemáticas en la Universidad del Nordeste y se doctoró en la UBA. Luego realizó estancias de investigación posdoctoral en el INRIA de Francia y en la prestigiosa Universidad de California¹, en Berkeley, y desde hace unos años es profesor en la Universidad de Barcelona, en España.

Pero Carlos, además de hacer investigación en matemática pura y aplicada, ha sido jurado de centenares de pruebas de matemática a nivel mundial, es un referente obligado en todo lo que tenga que ver con matemática recreativa, y su pasión para acercar la matemática a múltiples generaciones de jóvenes de todo el mundo lo ubican en un lugar muy destacado.

Uno de sus colegas en Barcelona es el doctor Juan Carlos Naranjo. Más allá de las tareas específicas que desarrollan allá, están sistemáticamente a la búsqueda de problemas que sirvan para exhibir el poder de la matemática en todos los niveles. Y por supuesto, cada vez que encuentran algo que valga la pena difundir, me lo hacen llegar para que yo pueda distribuirlo.

Ahora sí, la historia prometida.

Marzo 17, 2015. Recibo este mail de Carlos que transcribo textualmente. Aquí figura el problema. Es mejor que usted lea la versión original:

Otro problema MUY BONITO que quiero compartir contigo. Me lo contó Juan Carlos Naranjo ayer. Estoy seguro de que te va a gustar mucho. Aquí va: tres amigos (digamos A, B y C) se pasan la tarde jugando al ping-pong con el método “el que pierde se va y entra a jugar el que está afuera”.

Al acabar la tarde, las cantidades de partidos que jugó cada uno fueron las siguientes:

A=10, B=15, C=17.

La pregunta es: ¿Quién perdió el segundo partido?

Ahora sigo yo. Creo que se entiende bien el enunciado, pero me interesa enfatizar que para pensarlo (y resolverlo) no hace falta saber jugar al ping-pong. Sólo que se juega de a dos. Como son tres participantes, mientras dos juegan, el tercero… ‘mira’. El perdedor sale y le deja su lugar al participante que estaba afuera como observador. El ganador sigue jugando.

Como escribió Carlos, al finalizar la tarde, más allá de quién ganó o perdió cada partido, contabilizaron cuántos partidos jugó cada uno, y éste fue el resumen:

A jugó 10 partidos

B jugó 15 partidos

C jugó 17 partidos

La pregunta es: ¿quién perdió el segundo partido?

Parece rara la pregunta, ¿no es así? Me importa reflexionar un instante con usted: ¿No es notable que se pueda contestar esta pregunta?

Cuando lo leí por primera vez (y por segunda… y tercera…) pensé que faltaban datos. ¿A usted no le pasa lo mismo?

Ahora sí… la/lo dejo a usted para que lo piense. Yo sigo a continuación.

Respuesta

Ésta es mi propuesta para resolver el problema. Quiero que usted y yo nos pongamos de acuerdo en un par de ideas.

Primero, ¿cuántos partidos se jugaron en total?

Uno podría pensar así: como A jugó 10, B jugó 15 y C jugó 17, si sumamos los tres números, el resultado es 42 partidos. Es decir, entre los tres jugaron 42 partidos. Pero, usted advierte que estoy contando dos veces cada partido, porque hacen falta dos jugadores para cada encuentro. Luego, el total de partidos jugados no es 42 sino la mitad: 21. Entonces se deduce que en total se jugaron 21 partidos.

Segundo, recuerdo acá las características que establecimos para este tipo de torneo: después de jugar cada partido, el ganador se queda para jugar el próximo, el perdedor sale y el que miraba entra a jugar.

Ahora, tome dos partidos consecutivos cualesquiera. Fíjese que cada uno de los tres (A, B y C) tuvo que haber jugado por lo menos un partido.

Entonces, como se jugaron 21 en total, la menor cantidad de partidos que un participante pudo haber jugado es ¡diez! ¿Por qué?, pensará usted. Fíjese en lo siguiente: cada participante no puede pasar dos partidos sin jugar. No puede esperar afuera dos partidos consecutivos. Por lo tanto, tiene que jugar —por lo menos— la mitad de ellos (si no más), pero como mínimo juega la mitad. En consecuencia, como 21 es un número impar, la ‘mitad’ de los partidos pudo haber sido o bien 10 o bien 11. Serían 11 si empezara jugando y los fuera perdiendo todos. Jugaría el 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 y 21.

Pero si fueran 10 (como es el caso de A), es porque jugó los partidos 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20.

Luego, como A es el jugador que participó en exactamente diez partidos, la secuencia tuvo que haber sido la siguiente:

X A X A X A X A X A X A X A X A X A X A X (*)

en donde estoy poniendo una letra ‘X’ para indicar que esos partidos los jugaron B contra C. Por otro lado, seguro que los partidos pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 debió haberlos jugado A, aunque no sabemos contra cuál de los dos. Por último, ahora se entiende qué tuvo que pasar: A no sólo jugó todos los partidos pares, sino que además ¡los tuvo que haber perdido todos!

Y por eso, A entra, juega un partido, lo pierde y sale. Espera su turno otra vez: entra, lo juega, lo pierde y sale nuevamente. De ahí surge que la secuencia es la que escribí en (*).

Por lo tanto, ahora estamos en condiciones de responder la pregunta (usted también puede responder ahora, ¿no es así?): el jugador que perdió el segundo partido tuvo que haber sido A. Más aún: no solamente perdió el segundo partido, sino que perdió todos los partidos pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20.

Es decir, yo podría haber preguntado: ¿quién perdió el sexto partido? ¿O el decimosegundo? Todos los partidos pares los perdió A. No se puede saber contra quién los perdió (si fue contra B o contra C) pero lo que es seguro es que el perdedor fue siempre A².

Antes de ofrecer una reflexión final, quiero agregar una forma diferente de pensar y resolver el problema. El crédito es para Carlos Sarraute que, sin haber leído lo que yo escribí, me envió esta solución que me parece preciosa. Acá va.

Jugaron (10 + 15 + 17)/2 = 21 partidos.

Como A jugó 10 partidos, entonces B y C jugaron 11 partidos juntos, lo noto BC = 11.

Como B jugó 15 partidos, entonces A y C jugaron 6 partidos: AC = 6.

Como C jugó 17 partidos, entonces A y B jugaron 4 partidos: AB = 4.

Al tratar de escribir una secuencia de partidos posibles, no puedo repetir dos veces los mismos jugadores. Me lo imagino como un grafo con tres nodos:

Figura 1

Escribir una secuencia de partidos es como recorrer los nodos del grafo. Quiero encontrar un camino que pase 11 veces por BC, 6 veces por AC, 4 veces por AB.

Como más de la mitad de los pasos son por BC, la única forma es empezar y terminar en BC, y en los pasos (partidos) pares puedo elegir AB o AC.

¡Otra forma de llegar al mismo resultado!

Final

¿No es espectacular que uno pueda contestar esa pregunta cuando al principio parecía que no habría manera?

Y quiero hacer una reflexión más: espero que usted se haya tomado un tiempo para pensarlo y que haya podido deducirlo sin leer ninguna de las dos soluciones. ¿Sabe por qué? Cuando uno advierte qué es lo que debe hacer, cuando descubre que para cumplir los datos el menor número de partidos que tuvo que haber jugado algún participante es 10, y que justamente ése es el dato que uno sabía sobre A… en ese momento, en ese particular momento, uno siente que tiene en sus manos un determinado poder.

De ese momento se trata: ser capaz de pensar y advertir la potencia de nuestra capacidad reflexiva y deductiva. Solamente por eso valió la pena haber dedicado algún tiempo a pensar quién perdió el partido número dos de un torneo de ping-pong entre tres amigos.