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Agradecimientos

Prólogo

Quisiera pedirle un favor. Este libro contiene múltiples historias. En general, se trata de problemas para pensar, para entretenerse, para jugar. No todos tienen la misma complejidad. No todos tienen grados de dificultad similares, pero yo no sabría graduarlos. Lo que sí sé es que muchas veces, a lo largo de los últimos treinta o cuarenta años, estuve enfrascado en discusiones sobre qué es lo que habría que hacer con ‘la matemática’ si uno quisiera presentarla en forma ‘seductora’. ¿Cómo puede ser que una ciencia que tiene una rama que se llama Teoría de Juegos —una vez más… ¡Teoría de Juegos!— genere tantas reacciones en contra? ¿No habrá algo que podamos hacer para mostrar que la matemática tiene costados atractivos, divertidos, desafiantes, detectivescos, creativos…? (seguramente si invirtiéramos más tiempo, podríamos encontrar muchos más adjetivos para calificarla). Pero ¿por qué pasa lo contrario? Ni siquiera pasa algo ‘neutro’, lo que sucede es exactamente lo opuesto. Muy poca gente quiere tener algo que ver con ella, y más allá de llamarla o tildarla de aburrida, la matemática que se enseña (o la que se ha venido enseñando durante siglos) parece totalmente inservible.

Dicho todo esto, ¿qué podemos hacer? ¿Qué puedo aportar yo? Creo que ya han pasado muchísimos años y muchísimos libros que sostienen que esto ‘así… ¡no va!’. Bueno, aceptado. Así… no va.

Ahora me imagino que usted (que está leyendo estas líneas pero que no es un profesional de la matemática), me está increpando o cuestionando: “Pero ¿usted (que vendría a ser yo) qué puede proponer? Mejor dicho, ¿ustedes (los matemáticos) qué otra cosa pueden ofrecer?”.

Y es aquí donde yo me pregunto: “¿Por qué no somos capaces de ‘mostrar’ o ‘exhibir’ de qué hablamos cuando decimos todo lo que escribí antes? ¿Qué ejemplos puedo dar?”.

Mientras preparaba más historias para este libro, se me ocurrió presentar una decena de problemas que ya conté alguna vez, en algún otro momento y en algún otro contexto, pero que, como parte de la ‘matemática recreativa’, me gustaría proponerle a una persona que recién ‘aterriza’ y no tiene idea de la matemática que se enseñó hasta acá, ni de la matemática que habría que enseñar, y tampoco escuchó hablar de ‘seducciones’ o ‘aburrimientos’. Es simplemente una persona que viene ‘virgen’… ¿Qué le diría yo?

Lo único que tengo que suponer o asumir es que esta persona es capaz de pensar, de leer con cuidado cualquier cosa que se le ponga delante y, sobre todo, que cuente con condiciones de contorno que lo hagan sentir bien antes de empezar.

¿Qué quiero decir con esto último? Que lo que sigue es optativo, no está forzada/o a hacerlo, ‘si quiere lo hace y si no quiere no lo hace’, solo pretende despertar su curiosidad. Confío —en todo caso— en que la misma curiosidad que me despertó a mí, le despertará a ella/él. ¿Será posible que eso suceda?

Antes de avanzar en la lista de problemas, permítame aclarar: no estoy proponiendo que la siguiente lista de ejercicios para pensar reemplace a la matemática que se enseña hoy… ¡No! Solo pretendo que empecemos en un lugar diferente, que entremos por una puerta que no sea La puerta equivocada. En todo caso, propongo otras puertas de entrada.

Fíjese lo que le pasa a usted. En principio, yo había elegido 25 problemas, pero después me parecieron demasiados. De hecho, tendría que escribir un libro entero dedicado a ellos. Los enunciados están al principio de cada texto y las soluciones siguen en forma inmediata.

Si le interesa ahondar más en los diez puntos, el material que existe sobre cada uno es muy amplio y, en cualquier caso, están escritos en algún otro libro de esta misma colección. Encontrará la referencia a la que puede acudir si siente que el texto la/lo deja insatisfecha/o.

Ahora sí, acá voy.

1. LOTERÍA EN ALEMANIA

En Alemania, como en el resto del mundo, hay múltiples maneras de jugar a la lotería. Una de ellas es elegir seis números¹ entre los primeros 50, sin importar el orden. Por ejemplo, uno puede elegir esta combinación: 7, 11, 16, 17, 48 y 50. ¿Quiere calcular usted cuáles son sus posibilidades de ‘ganar’?²

Mientras tanto, le propongo que piense en estos dos ejemplos:

1) Suponga que usted está viajando en un colectivo. Recién se subió después de comprar un billete de lotería. Está contento porque eligió los seis números que más le gustan. Está parado porque no hay asientos libres. Afuera llueve torrencialmente. El colectivo se detiene y una señorita que está sentada advierte que esa es la parada en la que ella tendría que bajarse. Sale corriendo pero se olvida el paraguas. Usted no alcanza a entregárselo y se lo lleva a su casa. Cuando llega, toma el teléfono y disca un número al azar de siete dígitos.

Pregunta 1: ¿Qué es más probable? ¿Qué sea ella quien atienda el teléfono o que usted gane la lotería acertando los seis números que eligió?

2) Tome un mazo de cartas con las que se juega al póquer. En total son 52. Póngalas arriba de una mesa. Verá que el mazo tiene una ‘altura’ de aproximadamente 2,5 cm (dos centímetros y medio). Entonces usted llama por teléfono al fabricante de esas cartas y le pide que le envíe 270.000 mazos. Sí, 270 mil. Saca las cartas de las respectivas cajas y las apila todas. La pila que se formó mide casi ¡7 kilómetros! Ahora, le pide a su hija que por favor ‘le haga una marca’ a una de las cartas.

Pregunta 2: ¿Qué es más probable? ¿Qué usted encuentre la carta marcada o que su billete con los seis números le sirva para ganar la lotería?

Moraleja 1: Es más probable que la señorita atienda el teléfono.

Moraleja 2: Es más probable que usted encuentre la cara marcada.

Moraleja final: ¡No juegue a la lotería!

2. 128 TENISTAS

En el torneo de Roland Garros, en Francia, todos los años participan 128 tenistas. Las autoridades tienen que preparar las canchas para que el torneo se pueda completar en dos semanas. Como usted sabe, el torneo es por simple eliminación. Es decir, jugador que pierde un partido queda eliminado. Solamente siguen los ganadores. Pregunta: ¿cuántos partidos se jugarán en total?

Respuesta

La tentación es contar. En la primera ronda habrá 64 partidos (ya que los 128 se dividirán en dos para poder enfrentarse), después 32 (que son los que quedarán después de haberse jugado esos 64 encuentros) y así siguiendo. Es seguro de que usted llegará al resultado correcto.

Sin embargo, quiero ofrecerle otra manera de pensar el problema. Si usted sabe que empiezan el torneo 128 participantes, el ganador será el único que no perderá ningún partido. Todos los demás, en una instancia u otra, tendrán que quedar eliminados. ¿Cuántos eliminados habrá al finalizar el torneo? Respuesta: 127. Por lo tanto, esos 127 tenistas tendrán que haber jugado un partido que perdieron. Entonces, las autoridades pueden estar tranquilas: en total, ¡se jugarán 127 encuentros! No hace falta hacer ninguna suma.

Apéndice

Si en un torneo de tenis (o de cualquier otro deporte o actividad) por simple eliminación, participan un millón de jugadores, ¿cuántos partidos habrá que jugar? Después del análisis anterior, la respuesta es inmediata: 999.999 partidos. Notable, ¿no es así?

3. LA REMERA Y EL SEÑOR QUE ROBÓ UN BILLETE DE 100 PESOS

Un señor se quiere comprar una remera. Llega una mañana al negocio y, cuando se dirige al estante en donde están las remeras que le gustan y está a punto de encontrar su talle, advierte que el cajero no está presente en ese momento. Más aún: el señor ve que hay un billete de 100 pesos que está a un costado, apoyado sobre el mostrador. Mira a ambos costados y como no ve a nadie toma el billete de 100 pesos, deja la remera y se va. ¡Se robó el billete de 100 pesos!

A la tarde, vuelve al mismo negocio. Ahora sí, hay un empleado en la caja. El señor se dirige al mismo estante, elige la remera que quería en el talle que le hace falta y se fija en el precio: ¡70 pesos! Toma la remera y se dirige a la caja. Aprovecha el billete de 100 pesos que se llevó a la mañana y paga. El cajero envuelve la remera y le devuelve 30 pesos (el vuelto que le corresponde). El señor se retira del negocio.

Pregunta (multiple choice): ¿Cuánto dinero perdió el negocio?

a. 30 pesos

b. 70 pesos

c. 100 pesos

d. 130 pesos

e. 170 pesos

f. 200 pesos

Por supuesto, le pido que usted piense el resultado por su cuenta.

Sigo yo. Al haber planteado este problema en múltiples lugares, escuché también, múltiples respuestas. No sé lo que pensó usted, pero le propongo que sigamos juntos este camino hacia la solución.

Si la persona que entró a la tarde y compró la remera no fue el mismo señor de la mañana sino otra persona (digamos yo), ¿cuánto dinero habría perdido el negocio?

Usted puede contestar rápido ¡100 pesos!, segura/o de su respuesta porque las dos personas no están conectadas: el señor de la mañana es una persona diferente del de la tarde.

Pregunta: ¿Y qué diferencia hay en el análisis si la persona de la mañana y la de la tarde es la misma? Respuesta: ¡Ninguna! La persona que fue a la tarde hizo una operación ‘normal’ y ‘legal’. Lo que sucedió a la mañana (el robo del billete de 100 pesos) es totalmente independiente.

Moraleja: La respuesta correcta es la c. El negocio perdió 100 pesos.

4. PING-PONG

Sábado por la tarde. Tres amigos —A, B y C— deciden jugar al ping-pong. Afuera llueve mucho y por eso deciden pasar el sábado jugando al tenis de mesa. Como al ping-pong se juega de a dos, hay uno de los tres que siempre se queda afuera y mira el partido de sus amigos. El perdedor sale, el ganador se queda, y el que estaba mirando juega el partido siguiente.

Al finalizar la tarde, deciden contar cuántos partidos jugó cada uno. Fíjese bien: no digo cuántos partidos ganó cada uno, sino cuántos partidos jugó cada uno. Los suman y obtienen este resultado:

A jugó 10 partidos; B jugó 15 y C jugó 17.

Pregunta (que parece loca): ¿Quién perdió el segundo partido?

Sí, me doy cuenta de que parece imposible de contestar, pero créame que se puede. Ahora le toca a usted.

Respuesta

Si uno suma la cantidad de partidos que jugaron los tres, obtiene: 10 + 15 + 17 = 42. Rápidamente se da cuenta de que hay algo que está mal: 42 no es la cantidad de partidos que jugaron, porque al ping-pong se juega de a dos, y entre los 42 partidos estoy contando dos veces cada partido. Conclusión: en total se jugaron 21 partidos.

Dicho esto, ¿cuántos partidos tiene que jugar como mínimo cualquiera de los tres? Sí, como mínimo. Advierta que en dos partidos consecutivos cualesquiera, tienen que haber participado los tres amigos. No puede suceder que haya uno que no participe en dos partidos seguidos.

Entonces, pregunto otra vez: ¿cuántos partidos tuvo que haber jugado como mínimo cada uno de los tres? Para hacer esta cuenta, es necesario suponer que uno de los tres perdió todos los partidos que jugó. Muy bien, pero ¿cuántos tuvieron que haber sido como mínimo?

Contemos: supongamos que A jugó el primer partido, lo perdió y, por lo tanto, tuvo que salir. Jugó el tercero, y también lo perdió. Salió para que B y C jugaran el cuarto. A tuvo que volver a jugar el quinto, lo perdió y así siguiendo. En definitiva, si A jugó el primer partido y perdió todos los que jugó, es porque jugó todos los partidos impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21

¿Cuántos son? Cuéntelos y verá que le da 11 partidos. ¿Podría alguno de los tres haber jugado menos? Pensemos juntos. Si en lugar de haber jugado todos los partidos impares, hubiera jugado todos los pares, ¿qué partidos tuvo que haber jugado?

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Si ahora los contamos, verá que la suma da ¡10 partidos! Justamente, si se fija en los datos del principio, advertirá que el participante A jugó 10 partidos. ¿Qué dice esto? Que A fue no solo quien jugó el segundo partido, sino que fue también quien perdió el segundo partido. Y eso era lo que estábamos buscando averiguar: ¿quién perdió el segundo partido?

Apéndice

Además de saber quién perdió el segundo partido, con estos argumentos hemos descubierto que A también perdió el cuarto, el sexto, el octavo… (todos los pares).³

5. SUMA DE LOS PRIMEROS 100 NÚMEROS

Corría el año 1642. El maestro de un colegio primario les pide a los alumnos que hagan silencio, pero los niños no responden. El docente decide entonces darles una tarea para que tuvieran que concentrarse. Les dice: “¡Sumen todos los números desde el 1 hasta el 100!”.

Como en esa época no había calculadoras, computadoras, ni siquiera electricidad… a los alumnos no les queda más remedio que… ¡sumar los primeros 100 números!

No habían pasado ni 30 segundos cuando uno de los alumnos dice: “¡Ya está!”. El maestro, que aún no había llegado a sentarse en la silla que había al frente del aula, le pregunta: “¿Ya está? ¿Cuánto le dio?”. El alumno contesta: “El resultado es 5.050”.

El docente no puede creer lo que escuchó porque, efectivamente, el resultado es 5.050. Como no estaba convencido de que alguien pudiera contestar tan rápido, le vuelve a preguntar: “¿Había hecho la cuenta en su casa antes?”. El alumno responde: “No, la hice recién”.

Entonces, el maestro lo invita a pasar al frente y explicarle a sus compañeros cómo hizo para sumar tan rápido. El niño dio la siguiente explicación:

Como tenía que sumar los primeros 100 números, si los hubiera escrito, habría quedado ‘algo’ así:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Lo que hice entonces fue sumar el primero y el último (el 1 más el 100). El resultado es 101. Después, sumé el segundo (el 2) y el penúltimo (el 99). El resultado también es 101. Después, sumé el tercero (el 3) y el antepenúltimo (el 98). El resultado vuelve a ser 101. Y seguí repitiendo el mismo patrón: fui eligiendo uno de la izquierda y uno de la derecha. Los pares suman siempre 101. ¿Cuántos pares hay? [¿Quiere pensar usted, querido lector?] En total, hay 50 pares. Luego, todo lo que hice fue multiplicar (50 × 101) = 5.050. ¡Y listo!

Apéndice

El ‘alumno’ que resolvió el problema de esa forma y sumó así (de acuerdo con lo que indica la ‘leyenda’) fue Carl Friedrich Gauss, conocido en la historia como “El príncipe de la matemática”. Sinceramente, ¿cree usted que solo a un príncipe se le puede ocurrir un argumento como el expuesto aquí? Yo creo que no, pero claro, yo no soy usted.

6. 50 BOLILLAS BLANCAS Y 50 BOLILLAS NEGRAS

Piense este problema que me parece espectacular y totalmente ‘antiintuitivo’. Suponga que en una urna ponemos 50 bolillas blancas (B) y 50 bolillas negras (N). Le voy a pedir que meta una mano dentro de la urna y sin mirar escoja dos de ellas.

Si las dos son de distinto color, reponga en la urna la bolilla ‘blanca’. Si son del mismo color, reponga una ‘negra’. Ahora, repita el procedimiento: es decir, vuelva a meter la mano en la urna y, sin mirar, retire dos bolillas y proceda como antes.

Como usted advierte, al principio hay 100 bolillas, pero en cada paso la cantidad de bolillas disminuye en uno, ya que siempre escoge dos y repone una (independientemente del color).

Dicho esto, ¿de qué color es la última bolilla? ¿Se puede decidir?

Respuesta

Pensemos juntos. Al empezar, hay 50 bolillas de cada color, lo que implica que en total hay 100 bolillas. El número de bolillas blancas, entonces, es un número par: 50. Fijémonos qué puede pasar después de haber hecho el primer paso.

a) Si elegí dos de distinto color, repongo la blanca. Luego, las blancas siguen siendo 50.

b) Si elijo dos blancas, repongo una negra. Ahora quedan 48 blancas.

c) Si elijo dos negras, repongo una negra. Las blancas siguen siendo 50.

¿Por qué escribí esto? Lo hice para que nos convenzamos juntos que la cantidad de bolillas blancas o bien sigue siendo 50 o bien pasa a ser 48. ¡Nunca puede ser 49! Es decir, nunca es un número impar.

Si de 50 pasó a 48 (las blancas), elija lo que elija entre las dos, después de ese paso, seguirán siendo o bien 48 o bien saltará a 46, pero ¡en ningún caso puede ser 47!

Si usted me sigue con este argumento, verá que el número de bolillas blancas es ¡siempre un número par!

Este hecho es muy importante, porque en cada paso que damos, el número de bolillas disminuye en uno. Cuando llegamos al final, quedará una sola bolilla. “¿De qué color será la bolilla?”, pregunta el problema. Respuesta: ¡Será de color negro! ¿Por qué? Porque dentro de la urna, no importa cómo hayamos elegido, ¡nunca puede haber un número impar de bolillas blancas!

Eso responde la pregunta. ¿No es maravilloso que se pueda contestar sin tener que hacer ningún tipo de experimento trayendo 50 bolillas blancas, 50 bolillas negras, y empezar a probar diferentes posibilidades? ¿No es increíble que ni siquiera haga falta saber cuál fue la elección en cada paso?

7. TABLERO RECORTADO

Fíjese en este tablero de ajedrez:

Si cuenta, verá que hay 8 filas y 8 columnas. En total, 64 casilleros. Si colocara arriba del tablero una ficha de dominó, ocuparía exactamente dos casillas. Es decir, para poder cubrir todo el tablero, necesito ¡32 fichas de dominó!

Bien. Al llegar acá, suponga que recorto dos casillas, la inferior izquierda y la superior derecha.

Como usted advierte, ahora quedaron 62 casillas en lugar de las 64 originales. Por lo tanto, si ahora quisiera cubrir el tablero con fichas de dominó, ¡no necesito 32 sino una menos! Es decir, 31 fichas deberían ser suficientes.

Propuesta: ¿Puede hacer un diagrama o dibujo mostrando cómo distribuiría esas 31 fichas para cubrir el ‘nuevo’ tablero, el tablero ‘recortado’?

Respuesta

Piense alguna forma y fíjese cuál (o cuáles) se le ocurre(n). Después de un rato, verá que le resulta o bien muy difícil o bien no le sale. ¿Y sabe por qué? ¡Porque no se puede!

La pregunta natural ahora es: ¿No me sale a mí o no le saldría a nadie? No, no es solamente a usted, no importa quién venga, ¡no le va a salir a nadie! ¿Por qué? ¿Quiere pensar por su cuenta?

Es que si se fija, cuando apoya cada ficha de dominó convenientemente en el tablero, cubre dos casillas. Esta sería la parte fácil. Pero lo notable es que no importa si usted la ubica en forma horizontal o vertical, lo que siempre sucede es que usted cubre un casillero blanco y otro negro.

¿De qué color son las dos casillas que hemos recortado en el tablero? Como puede verificar fácilmente, son dos casillas de color negro. Luego, si bien en el tablero quedaron (después del recorte) 62 casillas, ahora hay 32 casillas blancas pero ¡30 casillas negras! O sea, el número de casillas blancas y negras no es más el mismo. Por lo tanto, las 31 fichas de dominó, no importa cómo las distribuya, no van a poder cubrir el tablero ‘recortado’.

¡Y listo! Este argumento nos permitió deducir que no somos usted y yo los que no podemos cubrir el tablero: ¡nunca nadie va a poder! Y el argumento se basa en cuestiones de paridad. Notable, ¿no es así?

8. TETRIS

Estoy ‘casi’ seguro de que usted alguna vez o bien jugó o bien vio el Tetris. Es un juego creado por el matemático ruso Alexey Pajitnov cuando trabajaba en el Centro de Computación de la Academia de Ciencias de la URSS. Pajitnov se dedicaba a investigaciones en inteligencia artificial y reconocimiento de voz. Tenía en ese momento 29 años y lanzó su ‘producto’ el 6 de junio de 1984.

Observe las siete pie